คณิตศาสตร์

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)

            จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง  ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ
            แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า  ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้

            ถ้ากำหนดให้      a = 1  และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้
                                                ax         =          1x         =          1

ข้อสังเกต

• ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ  ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ  เนื่องจาก  เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
• เรายังไม่ทราบนะว่า  เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ  ซึ่งจะกล่าวถึงใน  เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

ข้อกำหนด  (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R+ / y = ax , a > 0, a ¹ 1 }

ข้อตกลง  ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = kax  เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้  จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = ax  เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่านั้น

ข้อสังเกต  จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

• f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1x = 1  ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  จึงไม่สนใจ  ฐาน (a) ที่เป็น 1
• f(x) = 1x  ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล  เนื่องจาก  f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัว
• จากเงื่อนไขที่ว่า  y = ax, a > 0, a ¹ 1  ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ  0 < a < 1 กับ a > 1
• ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด  โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a)  ดังนี้

ชนิดที่ 1     y = ax, 0 < a < 1
ชนิดที่ 2     y = ax, a > 1

กราฟของฟังก์ชัน  y = ax, 0 < a < 1
            ลองศึกษารูปร่างกราฟของฟังก์ชัน  y = ax, 0 < a < 1  จากตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1  จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน  y = 
            วิธีทำ    ฟังก์ชัน  y =   เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนินเชียลที่มีฐาน (a) เป็นจำนวนจริงบวกที่มีค่าน้อยกว่า  1 ( 0 < a < 1  นั่นเอง)
                        เขียนตารางแสดงจุดผ่านบางจุดของกราฟ y =   ดังนี้

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	8	4	2	1

 

 จากตัวอย่าง  ที่แสดงให้เห็นรูปร่างกราฟของฟังก์ชัน  y = จะเห็นได้ว่า

1. ค่าของ y จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อ x มีค่าเป็นจำนวนลยที่น้อยลงเรื่อย ๆ
2. ค่าของ y จะค่อย ๆ ลดลงเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ x มีค่าเป็นจำนวนบวกมากขึ้น

อาจกล่าวได้ว่า  เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นจะทำให้ y มีค่าลดลงตามไปด้วย  แสดงว่าฟังก์ชันก์ y =   จึงเป็นฟังก์ชันลดในโดเมนของฟังก์ชันซึ่งเป็นเซตของจำนวนจริง ถูกเรียกสั้น ๆ ว่า  y =   เป็นฟังก์ชันลด